Question

9．若曲線C₁：y=$\frac{a}{2}$x²（a＞0）與曲線C₂：y=e^x存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線的斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程，可得m=2（s-1）（s＞1），則有2a=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，令f（s）=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到a的范圍．

解答 解：y=$\frac{a}{2}$x²（a＞0）的導(dǎo)數(shù)y′=ax，y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
設(shè)與曲線C₁相切的切點(diǎn)為（m，n），與曲線C₂相切的切點(diǎn)為（s，t），
則有公共切線斜率為am=e^s=$\frac{t-n}{s-m}$，
又n=$\frac{a}{2}$m²，t=e^s，
即有am=$\frac{am-\frac{a{m}^{2}}{2}}{s-m}$，
即為s-m=1-$\frac{m}{2}$，
即有m=2（s-1）（s＞1），
則有2a=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，
令f（s）=$\frac{{e}^{s}}{s-1}$，則f′（s）=$\frac{{e}^{s}（s-2）}{（s-1）^{2}}$，
當(dāng)s＞2時(shí)，f′（s）＞0，f（s）遞增，
當(dāng)1＜s＜2時(shí)，f′（s）＜0，f（s）遞減．
即有s=2處f（s）取得極小值，也為最小值，且為e²，
則有2a≥e²，
即a≥$\frac{{e}^{2}}{2}$．
故答案為：[$\frac{{e}^{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．