Question

8．拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)N（3，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C，|BF|=3，則△BCF與△ACF的面積之比為$\frac{6}{11}$．

Answer 1

分析 如圖所示，F(xiàn)（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由|BF|=3，可得x₂+1=3，解得x₂，代入拋物線方程可得y₂．直線AB的方程為：$y=\frac{-2\sqrt{2}}{2-3}（x-3）$，與拋物線方程聯(lián)立可得x₁．利用△BCF與△ACF的面積之比=$\frac{|AC|}{|BC|}$=$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$即可得出．

解答 解：如圖所示，
F（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由|BF|=3，可得x₂+1=3，
解得x₂=2，代入拋物線方程可得：${y}_{2}^{2}$=4×2，y₂＜0，解得y₂=-2$\sqrt{2}$．
∴B$（2，-2\sqrt{2}）$．
直線AB的方程為：$y=\frac{-2\sqrt{2}}{2-3}（x-3）$，化為$y=2\sqrt{2}（x-3）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-3）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為2x²-13x+18=0，
∴x₁x₂=9，
解得x₁=$\frac{9}{2}$．
∴△BCF與△ACF的面積之比=$\frac{|AC|}{|BC|}$=$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2+1}{\frac{9}{2}+1}$=$\frac{6}{11}$．
故答案為：$\frac{6}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．