Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+x，x≤0}\\{lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+a），x＞0}\end{array}\right.$，其中a＞0，當(dāng)a=2且f（x₀）=1時，x₀=0；若函數(shù)f（x）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2]．

Answer 1

分析 當(dāng)a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，分類討論滿足f（x₀）=1的x₀值，可得答案；函數(shù)f（x）的值域為R，則當(dāng)x=0時，函數(shù)y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2．

解答 解：當(dāng)a=2時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+x，x≤0\\ lo{g}_{2}（{x}^{2}+2x+2），x＞0\end{array}\right.$，
若x₀≤0，則f（x₀）=1+x₀=1，
解得：x₀=0，
若x₀＞0，則f（x₀）=${log}_{2}（{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2）$=1，
即${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+2=2$，
解得：x₀=0（舍去），或x₀=-2（舍去），
綜上，當(dāng)a=2且f（x₀）=1時，x₀=0；
當(dāng)x≤0時，則f（x）=1+x≤1，
當(dāng)x＞0時，則f（x）=${log}_{2}（{{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a）$，
若函數(shù)f（x）的值域為R，
則當(dāng)x=0時，函數(shù)y=${{x}_{\;}}^{2}+2{x}_{\;}+a$的值0＜a≤2，
即實數(shù)a的取值范圍是（0，2]
故答案為：0，（0，2]

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．