Question

2．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（I）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）在圓C上求一點D，使它到直線l的距離最短，并求出點D的直角坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t即可得出直線l的普通方程．由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ^2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，利用極坐標與直角坐標互化公式即可得出直角坐標方程．
（II）利用圓的參數(shù)方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調性與值域即可得出，

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．消去參數(shù)t得，直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．
由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ^2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，從而有${x^2}+{y^2}=2\sqrt{3}y$，配方可得：${x^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=3$
（Ⅱ）∵點D在圓C上，∴可設點D$（\sqrt{3}cosφ，\sqrt{3}（\sqrt{3}+sinφ））$（φ∈[0，2π）），
∴點D到直線l的距離為d=$\frac{|3cosφ-（3+\sqrt{3}sinφ）-3\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|2\sqrt{3}sin（\frac{π}{3}-φ）-3-3\sqrt{3}|}{2}$，
∵φ∈[0，2π），∴當$φ=\frac{11π}{6}$時，d_min3+$\sqrt{3}$．
此時D$（\frac{3}{2}，3-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應用、點到直線的距離公式、和差公式、三角函數(shù)的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．