Question

4．已知圓x²+y²=4與圓x²+（y-8）²=4．
（1）若兩圓在直線y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的兩側(cè)，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求經(jīng)過點A（0，5）且和兩圓都沒有公共點的直線的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若兩圓在直線y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的兩側(cè)，則保證圓心在直線的兩側(cè)，且直線和圓相切或相離，
（2）設(shè)出直線方程，利用直線和圓相離建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）如圖所示，結(jié)合圖形可知O（0，0）必在直線y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b的下方，（0，8）在其上方
所以有$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{\sqrt{5}}{2}×0+b}\\{8＞\frac{\sqrt{5}}{2}×0+b}\end{array}\right.$所以0＜b＜8．
又依題意，直線y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+b與兩圓相切或相離，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|b|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}≥2}\\{\frac{|b-8|}{\sqrt{1+\frac{5}{4}}}≥2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{|b|≥3}\\{|b-8|≥3}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{b≥3或b≤-3}\\{b≥11或b≤5}\end{array}\right.$，
所以3≤b≤5或b≥11．
又結(jié)合0＜b＜8，
可得b的取值范圍是3≤b≤5．
（2）設(shè)所求的直線方程為y=kx+5，
因為它與兩圓無公共點即與兩圓相離，
所以必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞2}\\{\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}＜\frac{21}{4}}\\{{k}^{2}＜\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
所以-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系及兩圓的位置關(guān)系，首先兩圓要相離或外切才能在直線的兩側(cè)，直線和兩圓也要相離或相切．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．