Question

6．已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，直線l的極坐標方程為：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，點P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈R．
（Ⅰ）求點P軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設點P（x，y），由點P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈R，能求出點P的軌跡的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$，由P的軌跡是圓心為（0，2），半徑為2的圓，求出圓心到直線的距離，從而能求出點P到直線的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設點P（x，y），
∵點P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα+2}\end{array}\right.$，且參數(shù)a∈R，
∴點P的軌跡的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）∵直線l的極坐標方程為：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，∴$ρsin（θ-\frac{π}{3}）=5$，
∴$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ=5$，
∴$ρsinθ-\sqrt{3}ρcosθ=10$，
∴直線l的直角坐標方程為$\sqrt{3}x-y+10=0$，
由（1）知點P的軌跡是圓心為（0，2），半徑為2的圓，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-2+10|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=4，
∴點P到直線的距離的最大值為4+2=6．

點評 本題考查點的軌跡的直角坐標方程的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．