15.(理科做)如圖,正四棱錐P-ABCD中,PA=BD,點(diǎn)M為AC,BD的交點(diǎn),點(diǎn)N為AP中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面PBC;
(2)求MN與平面PAD所成角的正弦值;
(3)求平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值.

分析 (1)以$\left\{{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MP}}\right\}$為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,利用向量法能證明MN∥平面PBC.
(2)求出平面PAD的法向量,利用向量法能求出AM與平面DEF所成角的正弦值.
(3)求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量,利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值.

解答 證明:(1)以$\left\{{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MP}}\right\}$為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,
設(shè)PA=BD=2,則$MP=\sqrt{3}$,
M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),$P(0,0,\sqrt{3})$.…(2分)
由題意得$N(\frac{1}{2},0,\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,則$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},0,\frac{{\sqrt{3}}}{2})$.
∴$\overrightarrow{PC}$=(-1,0,-$\sqrt{3}$),=-2$\overrightarrow{MN}$,∴MN∥PC,…(4分)
又∵PC?平面PBC,MN?平面PBC,
∴MN∥平面PBC. …(6分)
解:(2)設(shè)平面PAD的法向量為$\overrightarrow{n_1}=(x,y,z)$,
由題意得$\overrightarrow{AD}=(-1,-1,0),\overrightarrow{PD}=(0,-1,-\sqrt{3})$,
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n_1}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n_1}=-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$,∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}y}\end{array}}\right.$,令y=1,得到$\overrightarrow{n_1}=(-1,1,-\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,…(8分)
∴$cos<\overrightarrow{MN},\overrightarrow{n_1}>=\frac{{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n_1}}}{{|{\overrightarrow{MN}}||{\overrightarrow{n_1}}|}}=\frac{{(\frac{1}{2},0,\frac{{\sqrt{3}}}{2})•(-1,1,-\frac{{\sqrt{3}}}{3})}}{{1×\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{-1}{{\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{{-\sqrt{21}}}{7}$. …(10分)
∴AM與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$.        …(11分)
(3)設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$,
由題意得$\overrightarrow{BC}=(-1,-1,0),\overrightarrow{PB}=(0,1,-\sqrt{3})$,
∵$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n_2}=-x-y=0}\\{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n_2}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$,∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y}\end{array}}\right.$,
令y=1,得到$\overrightarrow{n_2}=(-1,1,\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,…(13分)
∵平面PAD的法向量$\overrightarrow{n_1}=(-1,1,-\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,平面PBC的法向量$\overrightarrow{n_2}=(-1,1,\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,
∴$cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{{(-1,1,-\frac{{\sqrt{3}}}{3})•(-1,1,\frac{{\sqrt{3}}}{3})}}{{\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{{\frac{5}{3}}}{{\frac{7}{3}}}=\frac{5}{7}$. …(15分)
∴平面PBC與平面PAD所成的二面角的余弦值為$\frac{5}{7}$.…(16分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明,考查線(xiàn)面角的正弦值、面面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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B班5名學(xué)生的視力檢測(cè)結(jié)果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.
(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),從計(jì)算結(jié)果看,哪個(gè)班的學(xué)生視力較好?并計(jì)算A班5名學(xué)生視力的方差;
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