Question

6．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF=$\frac{1}{4}$CD，有以下結(jié)論：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；
③AE⊥EF；  ④△ADF∽△ECF．
其中正確的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推導(dǎo)出∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，從而△ABE∽△ECF，進(jìn)而∠AEF=∠B=90°，由此能得到△ABE∽△AEF，AE⊥EF．

解答 解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．
∴△ABE∽△ECF．
∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．
∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，
∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEF=∠B=90°．
∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF．
∴②③正確．
故選：B．

點評 本題考查命題真假的判斷，考查三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．