Question

10．已知：等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，前n項和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值及相應的n的值；
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₂+a₅=a₃+a₄=15及a₂a₅=54，公差d＜0，計算即可；
（2）利用基本不等式即得結(jié)論；
（3）分n＞11及n≤11兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃+a₄=15，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
又∵a₂a₅=54，公差d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
∴d=-1，a₁=10，
∴a_n=11-n；
（2）由（1）知S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{21}{2}n$，
∴$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$=$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n-11+n}{n}$=-$\frac{1}{2}$（n+$\frac{22}{n}$-23），
∵n+$\frac{22}{n}$≥2$\sqrt{n×\frac{22}{n}}$=2$\sqrt{22}$，
當且僅當n=$\sqrt{22}$時等號成立，
∴當且僅當n=$\sqrt{22}$時，$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$取最大值，
∵$\frac{{S}_{4}-{a}_{4}}{4}$=-$\frac{1}{2}$（4+$\frac{22}{4}$-23）=6.75，
$\frac{{S}_{5}-{a}_{5}}{5}$=-$\frac{1}{2}$（5+$\frac{22}{5}$-23）=6.8，
∴$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值為6.8，此時n=5；
（3）∵a_n=11-n，
∴當n≤11時，a_n為非負數(shù)，
即T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-\frac{{n}^{2}-n}{2}，}&{n≤11}\\{n-11+\frac{（n-11）（n-12）}{2}+55，}&{n＞11}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{21n-{n}^{2}}{2}，}&{n≤11}\\{\frac{{n}^{2}-21n+220}{2}，}&{n＞11}\end{array}\right.$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項、最值及求和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．