Question

19．若a₁=1，對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且na_n+1²=（2n-1）a_n+1a_n+2a_n²．設(shè)M（x）表示整數(shù)x的個位數(shù)字，則M（a₂₀₁₁）=4．

Answer 1

分析 通過計算出前幾項的值猜想并用數(shù)學歸納法證明a_n=2^n-1，進而通過計算出數(shù)列{M（a_n）}前幾項的值可知從第2項起數(shù)列{M（a_n）}是以4為周期的周期數(shù)列，進而可得結(jié)論．

解答 解：依題意，${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₂+2${{a}_{1}}^{2}$，
即${{a}_{2}}^{2}$=a₂+2，解得：a₂=2或a₂=-1（舍），
2${{a}_{3}}^{2}$=3a₂a₃+2${{a}_{2}}^{2}$，即2${{a}_{3}}^{2}$=6a₃+8，
解得：a₃=4或a₃=-1（舍），
3${{a}_{4}}^{2}$=5a₃a₄+2${{a}_{3}}^{2}$，即3${{a}_{4}}^{2}$=20a₄+32，
解得：a₄=8或a₄=-$\frac{4}{3}$（舍），
4${{a}_{5}}^{2}$=7a₄a₅+2${{a}_{4}}^{2}$，即4${{a}_{5}}^{2}$=56a₅+128，
解得：a₅=16或a₅=-2（舍），
猜想：a_n=2^n-1．
下面用數(shù)學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當n=k（k≥2）時，有a_k=2^k-1，
∵ka_k+1²=（2k-1）a_k+1a_k+2a_k²，
∴ka_k+1²-（k•2^k-2^k-1）a_k+1-2^2k-1=0，
解得：a_k+1=2^k，或a_k+1=-$\frac{{2}^{k-1}}{k}$（舍），
即當n=k+1時命題成立；
由①、②可知a_n=2^n-1．
∴M（a₁）=M（1）=1，
M（a₂）=M（2）=2，
M（a₃）=M（2²）=4，
M（a₄）=M（2³）=8，
M（a₅）=M（2⁴）=6，
M（a₆）=M（2⁵）=2，
∴從第2項起數(shù)列{M（a_n）}是以4為周期的周期數(shù)列，
∵2011=4×502+3，
∴M（a₂₀₁₁）=M（a₃）=4，
故答案為：4．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學歸納法，找出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．