Question

13．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2n+3{n}^{2}+…+2004{n}^{2003}}{{n}^{2003}+2{n}^{2002}+…+2003n+2004}$=2004．

Answer 1

分析 將原式的分子分母同時除以n²⁰⁰³得$\frac{\frac{1}{{n}^{2003}}+\frac{2}{{n}^{2002}}+\frac{3}{{n}^{2001}}+…+\frac{1}{{n}^{0}}•2004}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}+…+\frac{2004}{{n}^{2003}}}$，再直接取其極限即可．

解答 解：將原式的分子分母同時除以n²⁰⁰³，
原式=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+2n+3{n}^{2}+…+2004{n}^{2003}}{{n}^{2003}+2{n}^{2002}+…+2003n+2004}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{1}{{n}^{2003}}+\frac{2}{{n}^{2002}}+\frac{3}{{n}^{2001}}+…+\frac{1}{{n}^{0}}•2004}{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}+…+\frac{2004}{{n}^{2003}}}$，
其中，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{k}}$=0，k=1，2，3，…，2003，
所以，原式=$\frac{0+0+0+…+0+2004}{1+0+0+…+0+0}$=2004．
故答案為：2004．

點評 本題主要考查了數(shù)列極限及其運算，將分式的分子分母同時除以n的最高次數(shù)項是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．