Question

3．定義R上的函數(shù)f（x）對任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+k（k為常數(shù)）．
（1）判斷k為何值時，函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，并證明之；
（2）設(shè)k=1，f（x）是R上的增函數(shù)，f（4）=7，若不等式f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥3對x∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)的性質(zhì)，有f（0）=0，求得k的值，再根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y）+k，取y=-x，即可得到f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可證得結(jié)論；
（2）將k=1代入恒等式可得f（x+y）=f（x）+f（y）+1，再利用恒等式進(jìn)行賦值，將3轉(zhuǎn)化為f（2），再根據(jù)f（x）的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為a•2^x+2+3×4^x+18≥2對x∈[1，2]恒成立，分離參數(shù)a，利用基本不等式求得函數(shù)最值后即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若f（x）在R上為奇函數(shù)，則f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）對任意x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）+k，
∴令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）+k，
∴k=0，
下證明函數(shù)是奇函數(shù)
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵k=1，
∴f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）+1=7，即2f（2）=6，
∴f（2）=3，
∵f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥3對x∈[1，2]恒成立，
∴f（a•2^x+2+3×4^x+18）≥f（2）對x∈[1，2]恒成立，
又∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴a•2^x+2+3×4^x+18≥2對x∈[1，2]恒成立，
∴$a≥\frac{-3×{4}^{x}-16}{{2}^{x+2}}=-（\frac{3}{4}×{2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}）$對x∈[1，2]恒成立，
∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，
則$-（\frac{3}{4}×{2}^{x}+\frac{4}{{2}^{x}}）≤-2\sqrt{3}$，
故$a≥-2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與證明，函數(shù)的恒成立問題，以及抽象函數(shù)及其應(yīng)用．奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．