Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）設(shè)，若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：(1)先對函數(shù)求導,然后對討論.當時,在上恒成立,函數(shù)在單調(diào)遞增,∴在上沒有極值點.當時,在上遞減,在上遞增,即在處有極小值,無極大值.

(2)設(shè),不等式對任意恒成立,即函數(shù)在上的最小值大于零.所以求出的最小值,由最小值大于零求出的取值范圍.

試題解析:（1），

當時，在上恒成立，

函數(shù)在單調(diào)遞增，∴在上沒有極值點.

當時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值，無極大值.

∴當時，在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點.

（2）設(shè) ，

，

不等式對任意恒成立，即函數(shù)在上的最小值大于零.

①當，即時，在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為，

由可得，

因為，所以.

②當，即時，在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，由可得，即.

③當，即時，可得最小值為，

因為，所以，

故.

即，

綜上可得，的取值范圍是.