Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2x|x-a|，其中a∈R．
（1）當a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥3在x∈[1，3]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}，x≤-1}\\{3（x+\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}，x＞-1}\end{array}\right.$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-a）^{2}+{a}^{2}，x≤a}\\{3（x-\frac{a}{3}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{3}，x＞a}\end{array}\right.$，通過對a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}，x≤-1}\\{3（x+\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}，x＞-1}\end{array}\right.$，
f（x）在（-∞，-1）和$（-\frac{1}{3}，+∞）$上遞增，在在$（-1，-\frac{1}{3}）$上遞減．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-a）^{2}+{a}^{2}，x≤a}\\{3（x-\frac{a}{3}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{3}，x＞a}\end{array}\right.$，
當a≥0時，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均遞增，∵f（a）=a²，則f（x）在R上遞增；
當a＜0時，f（x）在（-∞，a）和$（\frac{a}{3}，+∞）$上遞增，在在$（a，\frac{a}{3}）$上遞減；
可知，f（x）在x∈[1，2]上恒遞增，
則f_min（x）=f（1）=1+2|1-a|≥3，解得a≤0或a≥2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．