Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a=4，利用基本不等式求得f（x）的最小值．
（2）由題意可得，a＞-x²+4x，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)恒成立，故a＞g（x）_max，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得 g（x）_max，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）由a=4，∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2≥6，當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào)．
即當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最小值為6．
（2）x∈[1，4]，$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$＞6恒成立，即x∈[1，4]，x²+2x+a＞6x恒成立．
等價(jià)于a＞-x²+4x，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)恒成立，
令g（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[1，4]，
∴a＞g（x）_max=g（2）=4，即a的取值范圍是{a|a＞4}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．