Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，滿足a_n-a_n-1+2a_n•a_n-1=0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

an

2n+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使得2T_n（2n+1）≤m（n²+3）對(duì)所有n∈N^*都成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當(dāng)n≥2時(shí)，滿足a_n-a_n-1+2a_n•a_n-1=0．可得

1

an

-

1

an-1

=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=

an

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

2n+1

．2T_n（2n+1）≤m（n²+3）化為2n≤m（n²+3），化為m≥

2n

n2+3

．再利用函數(shù)與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： （I）證明：∵當(dāng)n≥2時(shí)，滿足a_n-a_n-1+2a_n•a_n-1=0．
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

=1，公差d=2．
∴

1

an

=1+2(n-1)=2n-1．
（II）解：b_n=

an

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∴2T_n（2n+1）≤m（n²+3）化為2n≤m（n²+3），化為m≥

2n

n2+3

．
令f（n）=

2n

n2+3

=

2

n+ 3 n

，
函數(shù)g（x）=x+

3

x

（x＞0），g′（x）=1-

3

x2

=

x2-3

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞

3

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜

3

，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

3

時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值．
∴當(dāng)n=1，2時(shí)，f（n）單調(diào)遞增；當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)n=2時(shí)，f（n）取得最大值，∴m≥

4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、函數(shù)與數(shù)列的單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．