Question

9．設(shè)集合M={x|x²-（k-3）x-4k=0}，N={x|x＞0，x∈R}，若M∩N=Φ，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 由集合M={x|x²-（k-3）x-4k=0}，N={x|x＞0，x∈R}，若M∩N=Φ，則方程x²-（k-3）x-4k=0無(wú)正實(shí)數(shù)根，分類(lèi)求出實(shí)數(shù)k的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵集合M={x|x²-（k-3）x-4k=0}，N={x|x＞0，x∈R}，
若M∩N=Φ，則方程x²-（k-3）x-4k=0無(wú)正實(shí)數(shù)根，
當(dāng)△=（k-3）²+16k＜0，即k∈（-9，-1）時(shí)，方程x²-（k-3）x-4k=0無(wú)實(shí)數(shù)根，滿足要求，
當(dāng)△=（k-3）²+16k≥0，即k∈（-∞，-9]∪[-1，+∞）時(shí)，
若方程x²-（k-3）x-4k=0無(wú)正實(shí)數(shù)根，
則方程兩根均小于等于0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=k-3≤0}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=-4k≥0}\end{array}\right.$，解得：k≤0，
∴k∈（-∞，-9]∪[-1，0]
綜上所述實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，0]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集運(yùn)算，其中根據(jù)已知得到方程x²-（k-3）x-4k=0無(wú)正實(shí)數(shù)根，是解答的關(guān)鍵．