Question

11．已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及${S_n}=\sum_{i=1}^n{a_i}$；
（2）試比較S_n與（n-2）3ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用賦值法求解a₀，利用二項式定理以及賦值法求解${S}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}$即可．
（2）先通過不完全歸納猜出兩者的大小，然后用數(shù)學歸納法證明．注意三歩：第一步證基礎第二步證遞推關系第三歩總．

解答 解：（1）（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，
當x=1時，（1+1）ⁿ=a₀，
可得a₀=2ⁿ．
[（x-1）+2]ⁿ=（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，
當x=2時，上式化為：3ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，
${S}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a}_{i}$=3ⁿ-2ⁿ
（2）要比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，
即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當n=1時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當n=4，5時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
猜想：當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
下面用數(shù)學歸納法證明：
由上述過程可知，n=4時結論成立，
假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3^k＞（k-1）2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]，
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-3）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0，
∴3^k+1＞（（k+1）-1）2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1時結論也成立，
∴當n≥4時，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，
當n=1時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²；
當n=2，3時，S_n＜（n-2）2ⁿ+2n²；
當n≥4，n∈N^*時，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²

點評 本題考查賦值法是求二項式定理的系數(shù)以及求解方法；考查數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題．