Question

16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2acosC+c-2b=0．
（1）求∠A的大��；
（2）若a=1，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理得c²+b²-a²=bc，可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由（1）可求sinA，由正弦定理可得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可求△ABC的周長(zhǎng)l=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1．由0$＜B＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由已知2acosC+c-2b=0，
由余弦定理得：2a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c-2b=0，…（2分）
整理得c²+b²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（2）∵cosA=$\frac{1}{2}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（6分）
由正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…（7分）
△ABC的周長(zhǎng)：l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（B+$\frac{π}{3}$）]=2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1．…（10分）
∵0$＜B＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，…（11分）
因此2＜l≤3，故△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為：（2，3]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．