Question

5．己知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（2ωx-$\frac{π}{6}$），其圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長度單位得到函數(shù)g（x）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和周期公式可得ω=1，可得f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由函數(shù)圖象變換可得m的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，求單調(diào)遞增區(qū)間和[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]取交集可得．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（2ωx-$\frac{π}{6}$）的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{2}$，解得ω=1，故f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長度單位得到函數(shù)
g（x）=$\sqrt{3}$cos[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$cos（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的圖象；
∵g（x）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)（-$\frac{π}{3}$，0），
∴$\sqrt{3}$cos（-$\frac{2π}{3}$+2m-$\frac{π}{6}$）=0，∴-$\frac{2π}{3}$+2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
解得m=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{2π}{3}$，由m＞0可知當(dāng)k=-1時(shí)，m取得最小值$\frac{π}{6}$，
∴此時(shí)有g(shù)（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+2π可得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
與[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$]取交集可得，單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)圖象變換和單調(diào)性，屬中檔題．