3.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,四個頂點所圍成菱形的面積為8$\sqrt{2}$.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線L:y=kx+m與橢圓C交于兩個不同點A(x1,x2)和B(x2,y2),O為坐標原點,且kOA•kOB=-$\frac{1}{2}$,求y1,y2的取值范圍.

分析 (I)利用菱形的面積和橢圓的性質(zhì)即可得出;
(II)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去y,運用韋達定理和判別式大于0,以及直線的斜率公式,化簡整理,即可得到y(tǒng)1y2的范圍.

解答 解:(I)由已知可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{1}{2}$•2a•2b=8$\sqrt{2}$,
又a2=b2+c2,
解得c=2,b=2,a2=8.
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1.
(II)直線L:y=kx+m與橢圓C交于兩個不同點A(x1,x2)和B(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)>0,化為8k2+4>m2,①
∴x1+x2=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$.
∵滿足kOA•kOB=-$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$.
∴y1y2=-$\frac{1}{2}$x1x2=-$\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m2=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$.
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$.
∴4k2+2=m2,
即有y1y2=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{2+4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$-2,
則y1y2∈(-2,2].

點評 本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、直線的斜率公式、菱形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.設橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$,連接橢圓的四個頂點得到的菱形面積為4$\sqrt{3}$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)線段PQ是橢圓過點F2的弦,且$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$,求△PF1Q面積的最大值,并求出對應λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.已知甲、乙、丙、丁、戊、己等6人,分別求解下列問題(用數(shù)字作答):
(1)若他們排成一排,則甲、乙、丙三人中任兩人都不相鄰的不同排法有多少種;
(2)若派遣這6人去參加一項會議,至少有一人去,去幾人自行決定,但甲與乙兩人要么同時去,要么同時不去,求共有多少種不同的派遣方法;
(3)若這6人中,有4名男生,2名女生,現(xiàn)從中選出4人去參加某項活動,要求男女生都有,求不同的選法種數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.設矩陣M=$(\begin{array}{l}{1}&{a}\\&{1}\end{array})$.
(Ⅰ)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1;
(Ⅱ)若曲線C:x2+4xy+2y2=1在矩陣M的作用下變換成曲線C′:x2-2y2=1,求a+b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

18.三個實數(shù)a、b、c成等比數(shù)列,且a+b+c=6,則b的取值范圍是( 。
A.[-6,2]B.[-6,0)∪( 0,2]C.[-2,0)∪( 0,6]D.(0,2]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

8.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且x∈[0,2]時,f(x)=log2(x+1),給出下列結論:
①f(3)=1;②函數(shù)f(x)在[-6,-2]上是增函數(shù);③函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱;④若m∈(0,1),則關于x的方程f(x)-m=0在[-8,16]上的所有根之和為12.
則其中正確的命題為①④.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

15.$\frac{3+2i}{2-3i}$(  )
A.-iB.iC.1+iD.1-i

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.某個海邊旅游景點,有小型游艇出租供游客出海游玩,收費標準如下:租用時間不超過2小時收費100,超過2小時的部分按每小時100收。ú蛔阋恍r按一小時計算).現(xiàn)甲、乙兩人獨立來該景點租用小型游艇,各租一次.設甲、乙租用不超過兩小時的概率分別為$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}$;租用2小時以上且不超過3小時的概率分別為$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{3}$,且兩人租用的時間都不超過4小時.
(Ⅰ)求甲、乙兩人所付費用相同的概率;
(Ⅱ)設甲、乙兩人所付的費用之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列與數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

13.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-3|,若關于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A.[-3,5]B.(-3,5)C.(-∞,-3]∪[5,+∞)D.(-∞,-3)∪(5,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案