Question

13．已知復(fù)數(shù)z=3+4i，$\overline{z}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，點(diǎn)A、C滿(mǎn)足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C在角α的終邊上，求sin2α+cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)數(shù)z=3+4i，可得$\overline{z}$=3-4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)B（3，-4），由于點(diǎn)A、C滿(mǎn)足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$，可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$，即可得出．
（2）由|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}$=5，可得sinα=-$\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{3}{5}$．利用倍角公式即可得出．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)z=3+4i，
則$\overline{z}$=3-4i對(duì)應(yīng)點(diǎn)B（3，-4），
由點(diǎn)A、C滿(mǎn)足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$，∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}$=（3，-4）．
∴C（3，-4）．
（2）∵|OC|=$\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}$=5，
∴sinα=-$\frac{4}{5}$，$cosα=\frac{3}{5}$．
∴sin2α=2sinαcosα=$2×（-\frac{4}{5}）×\frac{3}{5}$=-$\frac{24}{25}$，
cos2α=1-2sin²α=1-$2×（-\frac{4}{5}）^{2}$=-$\frac{7}{25}$，
∴sin2α+cos2α=$-\frac{24}{25}-\frac{7}{25}$=-$\frac{31}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義、向量的運(yùn)算法則及其模的計(jì)算公式、倍角公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．