分析 由條件結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理,可得B∈(0,$\frac{π}{3}$),即有cosB∈($\frac{1}{2}$,1),再由正弦定理和二倍角公式化簡(jiǎn)整理,再令cosB=t($\frac{1}{2}$<t<1),則有y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1,運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍.
解答 解:由∠A=2∠B,可得
C=π-A-B=π-3B,
由A,B,C∈(0,π),可得
B∈(0,$\frac{π}{3}$),即有cosB∈($\frac{1}{2}$,1),
由∠A=2∠B,可得
sinA=sin2B=2sinBcosB,
則有$\frac{c}$-$\frac{a}$=$\frac{sinC}{sinB}$-$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3B}{sinB}$-$\frac{sinB}{2sinBcosB}$
=3-4sin2B-$\frac{1}{2cosB}$
=4cos2B-$\frac{1}{2cosB}$-1,
令cosB=t($\frac{1}{2}$<t<1),
則有y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1,
由y′=8t+$\frac{1}{2{t}^{2}}$>0,可得
y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1在($\frac{1}{2}$,1)遞增,
即有-1<y<$\frac{5}{2}$.
故答案為:(-1,$\frac{5}{2}$).
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值,主要考查二倍角公式和正弦定理的運(yùn)用,同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | {3} | B. | {2,3} | C. | {-1,3} | D. | {0,1,2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{OD}$ | B. | $\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OD}$ | C. | $\overrightarrow{AO}$=3$\overrightarrow{OD}$ | D. | $\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{AO}$ |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\sqrt{7}$ |
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