4.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,∠A=2∠B,則$\frac{c}$-$\frac{a}$的取值范圍是(-1,$\frac{5}{2}$).

分析 由條件結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理,可得B∈(0,$\frac{π}{3}$),即有cosB∈($\frac{1}{2}$,1),再由正弦定理和二倍角公式化簡(jiǎn)整理,再令cosB=t($\frac{1}{2}$<t<1),則有y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1,運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍.

解答 解:由∠A=2∠B,可得
C=π-A-B=π-3B,
由A,B,C∈(0,π),可得
B∈(0,$\frac{π}{3}$),即有cosB∈($\frac{1}{2}$,1),
由∠A=2∠B,可得
sinA=sin2B=2sinBcosB,
則有$\frac{c}$-$\frac{a}$=$\frac{sinC}{sinB}$-$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3B}{sinB}$-$\frac{sinB}{2sinBcosB}$
=3-4sin2B-$\frac{1}{2cosB}$
=4cos2B-$\frac{1}{2cosB}$-1,
令cosB=t($\frac{1}{2}$<t<1),
則有y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1,
由y′=8t+$\frac{1}{2{t}^{2}}$>0,可得
y=4t2-$\frac{1}{2t}$-1在($\frac{1}{2}$,1)遞增,
即有-1<y<$\frac{5}{2}$.
故答案為:(-1,$\frac{5}{2}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值,主要考查二倍角公式和正弦定理的運(yùn)用,同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.設(shè)集合A={-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x>0},則A∩B=(  )
A.{3}B.{2,3}C.{-1,3}D.{0,1,2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.設(shè)Q是曲線T:xy=2(x>0)上任意一點(diǎn),l是曲線T在點(diǎn)Q處的切線,且l交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.若集合A=$\left\{{({x,y})\left|{\frac{x^2}{2}+{y^2}<1}\right.}\right\},B=\left\{{({x,y})\left|{x∈Z,y∈Z}\right.}\right\}$,則A∩B的元素個(gè)數(shù)為3.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,若直線l與圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-5$\sqrt{2}$)2+(y-5$\sqrt{2}$)2=49都相切,且兩個(gè)圓的圓心均在直線l的下方,則直線l的斜率為7.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.如圖,在△ABC中,如果O為BC邊上中線AD上的點(diǎn),且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,那么( 。
A.$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{OD}$B.$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{OD}$C.$\overrightarrow{AO}$=3$\overrightarrow{OD}$D.$\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{AO}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知數(shù)列an=$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}$,求an的通項(xiàng)公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知復(fù)數(shù)z=3+4i,$\overline{z}$對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,點(diǎn)A、C滿足$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OC}$.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)C在角α的終邊上,求sin2α+cos2α的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=1,$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-$\frac{1}{2}$,則|$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$|=( 。
A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{7}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案