Question

20．已知點(diǎn)A為拋物線C：x²=4y上的動(dòng)點(diǎn)（不含原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)A的切線交x軸于點(diǎn)B，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，則△ABF（　�。�

• A． 一定是直角
• B． 一定是銳角
• C． 一定是鈍角
• D． 上述三種情況都可能

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，確定過(guò)A的切線方程，可得B的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），可得$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：由x²=4y可得y=$\frac{1}{4}$x²，∴y′=$\frac{1}{2}$x，
設(shè)A（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），則
過(guò)A的切線方程為y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$x₀，∴B（$\frac{1}{2}$x₀，0），
∵F（0，1），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴∠ABF=90°，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．