Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且?x∈R，f（x+2）=-f（x）．當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=2^x，則f（2016）-f（2015）的值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)條件?x∈R，f（x+2）=-f（x），得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)的奇偶性，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：∵?x∈R，f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4，
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1），
∵當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=2^x，
∴f（-1）=$\frac{1}{2}$，∴f（2015）=f（-1）=$\frac{1}{2}$，
∵f（2016）=f（504×4）=f（0）=0，
∴f（2016）-f（2015）=-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．