Question

14．已知命題p：方程x²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，命題q：不等式x²+（m-2）x+1=0無實(shí)根，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先對(duì)命題p，q為真是，求出各自成立時(shí)參數(shù)所滿足的范圍，再根據(jù)“p或q”為真，p且q”為假判斷出兩命題的真假情況，然后求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：方程x²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}＜0}\\{{x}_{1}{x}_{2}＞0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞2或m＜-2}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
即m＞2，
若不等式x²+（m-2）x+1=0無實(shí)根，
則△=（m-2）²-4＜0，
即m²-4m＜0，
得0＜m＜4，
若p或q為真，p且q為假，
則p，q一個(gè)為真，一個(gè)為假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≥4或m≤0}\end{array}\right.$，即m≥4，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{0＜m＜4}\end{array}\right.$，得0＜m≤2，
綜上0＜m≤2或m≥4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，對(duì)兩個(gè)命題為真時(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，正確理解“p或q”為真，p且q”為假的意義是解題的關(guān)鍵．