Question

6．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面，AA₁=6，M是AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面MBC₁
（Ⅱ）求四棱錐M-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接CB₁，設(shè)CB₁∩BC₁=O．連接OM．由四邊形BB₁C₁C為矩形，可得CO=OB₁，又CM=MA，利用三角形中位線定理可得MO∥AB₁．利用線面平行的判定定理即可得出．
（II）取BC的中點(diǎn)E，連接AE．取CE的中點(diǎn)F，連接MF．由于△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，可得AE⊥BC，且AE=$2\sqrt{3}$．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得AE⊥側(cè)面BCC₁B₁，利用三角形中位線定理與線面垂直的性質(zhì)定理可得MF⊥側(cè)面BCC₁B₁，利用四棱錐M-BB₁C₁C的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}•MF$即可得出．

解答 （I）證明：如圖所示，連接CB₁，設(shè)CB₁∩BC₁=O．連接OM．
由四邊形BB₁C₁C為矩形，
∴CO=OB₁，
又CM=MA，
∴MO∥AB₁．
∵AB₁?平面MBC₁，MO?平面MBC₁．
∴AB₁∥平面MBC₁．
（II）解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE．取CE的中點(diǎn)F，連接MF．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
∴AE⊥BC，且AE=$2\sqrt{3}$．
∵底面ABC⊥側(cè)面BCC₁B₁，底面ABC∩側(cè)面BCC₁B₁=BC，
∴AE⊥側(cè)面BCC₁B₁，
∵$MF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AE$，
∴MF⊥側(cè)面BCC₁B₁，MF=$\sqrt{3}$．
∴四棱錐M-BB₁C₁C的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形BC{C}_{1}{B}_{1}}•MF$=$\frac{1}{3}×4×6×\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題查克拉直三棱柱的性質(zhì)、線面及面面平行與垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、三角形中位線定理、四棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．