Question

18．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知c=2，sinB=$\sqrt{2}$sinA
（1）若B=$\frac{2π}{3}$，求邊長a；
（2）求△ABC面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據正弦定理得到b=$\sqrt{2}$a，由余弦定理，得到關于a的方程，解得即可；
（2）先余弦定理得到cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，再求出sinB，根據面積公式，求出S=$\frac{1}{2}$acsinB，兩邊平方，得到S²=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，繼而求出面積的最大值．

解答 解：（1）∵B=$\frac{2π}{3}$，sinB=$\sqrt{2}$sinA，
∴b=$\sqrt{2}$a，
由余弦定理，得到b²=a²+c²-2accosB，
∴a²-4-2a=0，
解得a=1+$\sqrt{5}$，a=1-$\sqrt{5}$（舍去）；
（2）由由余弦定理，得到b²=a²+c²-2accosB，
即cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+4-2{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{a}-\frac{a}{4}）^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=a$\sqrt{1-（\frac{1}{a}-\frac{a}{4}）^{2}}$，
∴S²=-$\frac{1}{16}$（a⁴-24a²+16）=-$\frac{1}{16}$（a²-12）²+8，
當a²=12時，即a=2$\sqrt{3}$時，S²有最大值，
∴S²_max=8，
∴S_max=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，以及二次函數的最值問題，屬于中檔題．