Question

15．過橢圓3x²+4y²=48的左焦點引斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，則|AB|等于$\frac{48}{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由橢圓3x²+4y²=48化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，可得c．橢圓的左焦點F（-2，0）．直線l的方程為：y=x+2．與橢圓方程聯(lián)立化為7x²+16x-32=0．利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由橢圓3x²+4y²=48化為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
可得$c=\sqrt{16-12}$=2．
∴橢圓的左焦點F（-2，0）．
直線l的方程為：y=x+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48}\end{array}\right.$，化為7x²+16x-32=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{16}{7}$，x₁x₂=-$\frac{32}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{16}{7}）^{2}-4×（-\frac{32}{7}）]}$=$\frac{48}{7}$．
故答案為：$\frac{48}{7}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．