【題目】如圖所示,直平行六面體的所有棱長都為2,,過體對角線的截面S與棱和分別交于點E、F,給出下列命題中:
①四邊形的面積最小值為;
②直線EF與平面所成角的最大值為;
③四棱錐的體積為定值;
④點到截面S的距離的最小值為.
其中,所有真命題的序號為( )
A.①②③B.①③④C.①③D.②④
【答案】B
【解析】
①分析可得當為為棱的中點時,四邊形的面積最小,求解即可;
②過點的平面的垂線交平面于點,轉(zhuǎn)化直線EF與平面所成角最大為直線與直線的夾角最小,進而求解即可;
③轉(zhuǎn)化四棱錐的體積為以平面和平面為底的三棱錐的體積的和,進而求證即可;
④分析可得當點與點重合,點與點重合時四邊形的面積最大,此時點到截面S的距離的最小,進而求解即可
由題,因為過體對角線,則由對稱性易得四邊形是平行四邊形,
連接,,且交于點,過點作的垂線,垂足為,
則若四邊形面積最小,即最小,
即為棱到平面的距離,即為長,
因為,則,
所以,
則,
又,
所以,此時為棱的中點,故①正確;
過點的平面的垂線交平面于點,則即為點到平面的距離,根據(jù)底面菱形的性質(zhì),可得,
若直線EF與平面所成角最大,則直線與直線的夾角最小,即最小,此時最大,即最小,
即時,故,則,
則直線EF與平面所成角最大為,故②錯誤;
設(shè)點到平面,平面的距離分別為,即從點分別向作垂線即可,由菱形可得,
,
為定值,故③正確;
因為四棱錐的體積為定值,
所以若點到截面S的距離的最小,則截面的面積最大,即四邊形面積最大,即最大,則當點與點重合,點與點重合時符合條件,此時在中,,,則,則,
所以,此時,
設(shè)點到截面S的距離為,則,所以,故④正確
綜上,①③④正確,
故選:B
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,以坐標原點務(wù)極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線,
(1)求曲線,的直角坐標方程;
(2)曲線和的交點為,,求以為直徑的圓與軸的交點坐標.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,點是橢圓上任意一點,的最小值為,且該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若是橢圓上不同的兩點,且,若,試問直線是否經(jīng)過一個定點?若經(jīng)過定點,求出該定點的坐標;若不經(jīng)過定點,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線交于兩點,不與軸垂直,圓.
(1)若點在橢圓上,點在圓上,求的最大值;
(2)若過線段的中點且垂直于的直線過點,求直線的斜率的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是實系數(shù)一元二次方程的虛根,記它在直角坐標平面上的對應(yīng)點位.
(1)若在直線上,求證:在圓:上;
(2)給定圓,則存在唯一的線段滿足:
①若在圓上,則在線段上;
②若是線段上一點(非端點),則在圓上,寫出線段的表達式,并說明理由;
(3)由(2)知線段與圓之間確定了一種對應(yīng)關(guān)系,通過這種對應(yīng)關(guān)系的研究,填寫表一(表中是(1)中圓的對應(yīng)線段).
表一:
線段與線段的關(guān)系 | 的取值或表達式 |
所在直線平行于所在直線 | |
所在直線平分線段 | |
線段與線段長度相等 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形SABC中,,D為邊SC上的點,且,現(xiàn)將沿AD折起到達的位置(折起后點S記為P),并使得.
(1)求證:平面ABCD;
(2)設(shè),
①若點E在線段BP上,且滿足,求平面EAC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值
②設(shè)G是AD的中點,則在內(nèi)(含邊界)是否存在點F,使得平面PBC?若存在,確定點F的位置,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點,其離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于兩點,且,證明:直線經(jīng)過定點.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,,,和是兩個邊長為2的正三角形,,為的中點,為的中點.
(1)證明:平面.
(2)在線段上是否存在一點,使直線與平面所成角的正弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com