Question

【題目】已知橢圓與直線交于兩點，不與軸垂直，圓.

（1）若點在橢圓上，點在圓上，求的最大值；

（2）若過線段的中點且垂直于的直線過點，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

(1)由圓的幾何性質得到，由兩點間距離公式得到，再根據點在橢圓上二元化一元，結合二次函數的性質得到結果；（2）聯立直線和橢圓方程，根據韋達定理得到點的坐標為，直線的斜率為，再由兩直線的垂直關系得到代入判別式得到參數的范圍.

（1）依題意，圓，即圓，圓心為.

所以.

設，則.（*）

而，所以.

代入（*）中，可得，.

所以，即，所以.

（2）依題意，設直線.

由消去整理得.

因為直線與橢圓交于不同的兩點，

所以，整理得.①

設，，則，.

設點的坐標為，則，所以，

所以點的坐標為.

所以直線的斜率為.

又直線和直線垂直，則，所以.

將代入①式，可得.

解得或.

所以直線的斜率的取值范圍為.