Question

11．設數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}$，記數列{b_n•b_n+1}的前n項和T_n，求使T_n＜$\frac{9}{10}$成立的n的最大值．

Answer 1

分析 （1）n≥2時，S_n-1=2a_n-1-a₁，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1，a₁，a₂+1，a₃成等差數列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．即可求得a₁=2，根據等比數列的通項公式即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}=\frac{1}{n}$，b_n•b_n+1=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂項法”即可求得T_n，由T_n＜$\frac{9}{10}$，$\frac{n}{n+1}＜\frac{9}{10}$，即n＜9，即可求得n的最大值．

解答 解：（1）由已知S_n=2a_n-a₁，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1）．
∴a₂=2a₁，a₃=4a₁．…（2分）
∵a₁，a₂+1，a₃成等差數列，即a₁+a₃=2（a₂+1）．
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．…（4分）
∴數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴${a_n}={2^n}$．…（6分）
（2）由（1）得${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}}}=\frac{1}{n}$，
∴${T_n}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
由${T_n}＜\frac{9}{10}$，得$\frac{n}{n+1}＜\frac{9}{10}$，即n＜9，
∴使${T_n}＜\frac{9}{10}$成立的n的最大值為8．…（12分）

點評 本題考查等比數列通項公式，等差數列的性質，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．