Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{x}，x＞1}\\{{x}^{2}+1，-1≤x≤1}\\{2x+3，x＜-1}\end{array}\right.$，求：
（1）f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$），f{f[f（-2）]}的值．
（2）求f（3x-1）；
（3）若f（a）=$\frac{3}{2}$，求a．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式依次求出f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）、f（-2）、…、f{f[f（-2）]}的值；
（2）根據(jù)解析式對(duì)3x-1分三種情況并依次求出，最后再用分段函數(shù)的形式表示出f（3x-1）；
（3）根據(jù)解析式對(duì)a分三種情況，分別由條件列出方程求出a的值．

解答 解：（1）由題意得，f（1-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$）=f（1-$\frac{\sqrt{2}+1}{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}$）
=f（$-\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$+3，
又f（-2）=-4+3=1，則f（1）=1+1=2，f（2）=1$+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以f{f[f（-2）]}=$\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)3x-1＞1即x＞$\frac{2}{3}$時(shí)，f（3x-1）=$1+\frac{1}{3x-1}$，
當(dāng)-1≤3x-1≤1即0≤x≤$\frac{2}{3}$時(shí)，f（3x-1）=（3x-1）²+1=9x²-6x+2，
當(dāng)3x-1＜-1即x＜0時(shí)，f（3x-1）=2（3x-1）+1=6x-1，
綜上可得，f（3x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{3x-1}，x＞\frac{2}{3}}\\{9{x}^{2}-6x+2，0≤x≤\frac{2}{3}}\\{6x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（3）因?yàn)閒（a）=$\frac{3}{2}$，所以分以下三種情況：
當(dāng)a＞1時(shí)，f（a）=$1+\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，解得a=2，成立，
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，f（a）=a²+1=$\frac{3}{2}$，解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，成立
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（a）=2a+1=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{4}$，不成立，
綜上可得，a的值是2或$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值，對(duì)于多層函數(shù)值應(yīng)從內(nèi)到外求，考查分類討論思想，屬于中檔題．