Question

5．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的棱形，∠ABC=60°，AC與BD交于點O，M、N分別是OC、PD的中點，異面直線BD與AN所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$． 
（Ⅰ）求PA的長；
（Ⅱ）求二面角A-PM-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點，AD，AP所在直線為y，z軸建立空間直角坐標系．設PA=b，求出異面直線BD與AN對應的向量，利用異面直線所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$．求解求出b．
（Ⅱ）求出平面OMP的一個法向量，設平面PMD的法向量，設二面角A-PM-D的大小為θ，利用瞎了我的數(shù)量積求解即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）如圖，以A為原點，AD，AP所在直線為y，z軸建立空間直角坐標系．
設PA=b，則$P（0，0，b），D（0，4，0），N（0，2，\frac{2}），B（2\sqrt{3}，-2，0）$$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，6，0），\overrightarrow{AN}=（0，2，\frac{2}）$，
異面直線BD與AN所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{5}$． 

可得$cos＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AN}＞$=$\frac{12}{{\sqrt{48}•\sqrt{4+\frac{b^2}{4}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{5}⇒b=3$； 
所以PA的長為：3．…（6分）
（Ⅱ）由題意知$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，6，0）$是平面OMP的一個法向量，$M（\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$
設平面PMD的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PM}=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow n=（\frac{{5\sqrt{3}}}{3}，3，4）$
設二面角A-PM-D的大小為θ，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow n}}{{\overrightarrow{|BD}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{1}{5}$．…（13分）

點評 本題考查空間想的數(shù)量積的應用，二面角的求法，異面直線所成角的求法，考查計算能力．