Question

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是正方體棱上一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），|PA|+|PC₁|=m，
①若m=2，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

 

．
②若滿足|PA|+|PC₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意可得點(diǎn)P是以2c=

3

為焦距，以a=1為長(zhǎng)半軸，

1

2

為短半軸的橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，可求．
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)時(shí)，短半軸長(zhǎng)小于

2

2

，求出m的范圍．

解答： 解：∵正方體的棱長(zhǎng)為1，
∴AC₁=

3

，
∵|PA|+|PC₁|=2，
∴點(diǎn)P是以2c=

3

為焦距，以a=1為長(zhǎng)半軸，以

1

2

為短半軸的橢圓，
∵P在正方體的棱上，
∴P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點(diǎn)，
結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿足條件的點(diǎn)應(yīng)該在棱B₁C₁，C₁D₁，CC₁，AA₁，AB，AD上各有一點(diǎn)滿足條件．
故滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)．

（2）∵|PA|+|PC₁|=m＞|AC₁|=

3

，
∴m＞

3

，
∵正方體的棱長(zhǎng)為1
∴正方體的面的對(duì)角線的長(zhǎng)為

2

，
∵點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，
∴b＜

2

2

∵短半軸長(zhǎng)b=

m2 4 - 3 4

=

m2-3

2

，
∴

m2-3

2

＜

2

2

，
∴m＜

5

，
∴m的取值范圍是（

3

，

5

）
故答案為：6，（

3

，

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題以正方體為載體，主要考查了橢圓定義的靈活應(yīng)用，屬于綜合性試題．