Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=3，S_n+1-2S_n=1-n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）S_n+1-2S_n=1-n，n∈N^*．可得S_n+1-（n+1）=2（S_n-n），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，再利用遞推關(guān)系可得a_n．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$$＜\frac{4}{3}$成立．當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）解：∵S_n+1-2S_n=1-n，n∈N^*．
∴S_n+1-（n+1）=2（S_n-n），
∴數(shù)列{S_n-n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴S_n-n=2ⁿ，
∴S_n=2ⁿ+n．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+n-（2^n-1+n-1）=2^n-1+1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n-1}+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$$＜\frac{4}{3}$成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．