Question

15．A和B是拋物線y²=8x上除去原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}$=0，則支動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（　�。�

• A． x²+y²-8x=0
• B． y=6x²
• C． x²+4y²=1
• D． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1

Answer 1

分析 設(shè)出P，Q，M的坐標(biāo)，由已知得到三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，然后分l的斜率存在和不存在分析，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的方程，和拋物線聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得M的軌跡．

解答 解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
則x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，$\frac{y}{x}•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-1②，
當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M（8，0），
當(dāng)l斜率存在時(shí)，由題意可知斜率k不會(huì)為0，
設(shè)l_AB：y=kx+b，代入拋物線方程可得k²x²+（2kb-8）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8-2kb}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，y₁•y₂=$\frac{8b}{k}$，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{8b}{k}$=0
即k=-$\frac{8}$③，
∵$\frac{y}{x}•k=-1$④，
又∵點(diǎn)M滿足y=kx+b  ⑤，
由③④⑤得：（x-4）²+y²=16，
而M（4，0）滿足上式，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為：（x-4）²+y²=16．
即x²+y²-8x=0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，重點(diǎn)體現(xiàn)了舍而不求的解題思想方法，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題．