Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₀=0，a_n=$\frac{1}{{2-{a_{n-1}}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：0≤a_n＜a_n+1＜1（n∈N）；
（Ⅱ）在數(shù)列{a_n}中任意取定一項(xiàng)a_k，構(gòu)造數(shù)列{b_n}，滿足b₀=a_k，b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$（n∈N^*），問(wèn)：數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）令c_n=1-a_n（n∈N），求證：c${\;}_{1}^{\frac{3}{2}}$+c${\;}_{2}^{\frac{3}{2}}$+…+c${\;}_{n}^{\frac{3}{2}}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （I）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法推理論證，
（II）根據(jù)遞推關(guān)系式得出b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$=2-$\frac{1}{_{n-1}}$，（n∈N^*），a_n-1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，判斷得出b₁=$2-\frac{1}{_{1}}$═2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=a_k-1，…b_k=2-$\frac{1}{_{k-1}}$=2$-\frac{1}{{a}_{1}}$=0，可以解決問(wèn)題．
（III）c_n=$\frac{1}{n+1}$推證∴（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）^{3}}}$$＜\frac{1}{\sqrt{n（n+1）（n+2）}}$放縮得出（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$列出和即可證明．

解答 證明（I）（1）當(dāng)n=0時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，0≤a₀＜a₁＜1，
（2）假設(shè)n=k（k≥0，k∈N）時(shí)，a_k＜a_k+1＜1，
則n=k+1時(shí)，令f（x）=$\frac{1}{2-x}$，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴f（a_i）＜f（a_i+1）＜f（1），即a_k+1＜a_k+2＜1，
∴n=k+1時(shí)命題成立，
綜上原命題成立，
（II）∵b_n=$\frac{{2{b_{n-1}}-1}}{{{b_{n-1}}}}$=2-$\frac{1}{_{n-1}}$，（n∈N^*），a_n-1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$
∴b₁=$2-\frac{1}{_{1}}$═2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=a_k-1，…b_k=2-$\frac{1}{_{k-1}}$=2$-\frac{1}{{a}_{1}}$=0，
∴數(shù)列{b_n}沒(méi)有第k+1項(xiàng)及后繼項(xiàng)，即數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列．
（III）∵a_n=$\frac{1}{{2-{a_{n-1}}}}$（n∈N^*）．∴$\frac{1}{{c}_{n}}$$-\frac{1}{{c}_{n-1}}$=1，
∴c_n=$\frac{1}{n+1}$
∴（$\frac{1}{n+1}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{（n+1）^{3}}}$$＜\frac{1}{\sqrt{n（n+1）（n+2）}}$=（$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$）$•\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$•\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}$＜（$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$）$•\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$•\sqrt{\frac{n+2+n}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$
∴c${\;}_{1}^{\frac{3}{2}}$+c${\;}_{2}^{\frac{3}{2}}$+…+c${\;}_{n}^{\frac{3}{2}}$＜1-$\frac{1}{\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{2}}$$-\frac{1}{\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$=1$+\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$＜1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合運(yùn)用，遞推關(guān)系式的理解運(yùn)用，放縮法證明不等式，考查了學(xué)生的推理論證能力，整體把握問(wèn)題的能力，難度較大，屬于難題．