Question

(本題滿分13分)設(shè)函數(shù)滿足：都有，且時，取極小值
（1）的解析式；
（2）當(dāng)時，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直；
（3）設(shè), 當(dāng)時,求函數(shù)的最小值,并指出當(dāng)取最小值時相應(yīng)的值.

Answer 1

(1)  
(2) 根據(jù)題意可知，由于，設(shè)：任意兩數(shù) 是函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則這兩點(diǎn)處的切線的斜率分別是：，那么可以判定斜率之積不是-1，說明不能垂直
(3) 故當(dāng) 時,  有最小值

試題分析：解：（）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004804362899.png" style="vertical-align:middle;" />成立，所以：，
由： ，得 ，
由：，得
解之得： 從而，函數(shù)解析式為： (4分)
（2）由于，，設(shè)：任意兩數(shù) 是函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則這兩點(diǎn)處的切線的斜率分別是：
又因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004804642636.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，得：知：
故，當(dāng) 是函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)處的切線不可能垂直  (8分)
（3）當(dāng) 時， 且 此時
 
   (11分)
當(dāng)且僅當(dāng)：即即，取等號，
所以
故當(dāng) 時,  有最小值   (13分)
(或)
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號確定出函數(shù)單調(diào)性，以及函數(shù)的極值，從而比較極值和端點(diǎn)值的函數(shù)值得到最值，屬于基礎(chǔ)題。