Question

16．由于春運的到來，南昌火車站為舒緩候車室人流的壓力，決定在候車大樓外建立臨時候車區(qū)，其中K288次列車候車區(qū)是一個總面積為50m²的矩形區(qū)域（如圖所示），矩形場地的一面利用候車廳大樓外墻（長度為12m），其余三面用鐵欄桿圍，并留一個長度為2m的入口．現(xiàn)已知鐵欄桿的租用費用為80元/m．設該矩形區(qū)域的長為x （單位：m），租用鐵欄桿的總費用為y（單位：元）
（1）將y表示為x的函數(shù)，并求出租用此區(qū)域所用鐵欄桿所需費用最小值及相應的x；
（2）若所需總費用不超過2160元，則x的取值范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意得矩形的長為x-2，寬為$\frac{50}{x}$，鐵欄桿的租用費用為80元/m，由此得出y關于x的表達式，將其化簡后，利用基本不等式求出費用最小值，并求出不等式等號成立時x的值；
（2）由y≤2160，運用二次不等式的解法，化簡整理，即可得到x的范圍．

解答 解：（1）該矩形區(qū)域的長為xm，寬為$\frac{50}{x}$m，
依題意有y=80（$\frac{50}{x}$•2+x-2），其中2＜x≤12，
由均值不等式可得：$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≥80（2\sqrt{100}-2）=1440$，
當且僅當$\frac{100}{x}=x$即x=10時取“=”號．
綜上：當x=10m時，租用此區(qū)域所用鐵欄桿所需費用最小，最小費用為1440元．
（2）由題意可得$y=80（\frac{100}{x}+x-2）≤2160$，
∴$\frac{100}{x}+x-2≤27$，
∴x²-29x+100≤0，
∴（x-25）（x-4）≤0，
∴4≤x≤25，
又∵x≤12
∴4≤x≤12．

點評 本題考查了基本不等式在最值問題中的應用，注意等號成立的條件，認真審題并列出函數(shù)的解析式是解題的關鍵，考查了運算能力，屬于中檔題．