7.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過左焦點F1(-2,0)作x軸的垂線交橢圓于P,Q兩點,PF2與y軸交于E(0,$\frac{3}{2}$),A,B是橢圓上位于PQ兩側(cè)的動點.
(Ⅰ)求橢圓的離心率e和標準方程;
(Ⅱ)當∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率KAB是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請說明理由.

分析 (I)把x=-2代入橢圓方程可得:$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,解得P$(-2,\frac{^{2}}{a})$,直線PF2的方程為:$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$.把點P代入直線方程與a2=b2+4,聯(lián)立解出即可得出.
(II)當∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率KAB為定值-$\frac{1}{2}$,下面給出證明分析.由(I)可得:P(-2,3).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).不妨設(shè)直線PA的方程為:y=k(x+2)+3.則直線PB的方程為:y=-k(x+2)+3.與橢圓方程聯(lián)立,化為:(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式即可得出.

解答 解:(I)把x=-2代入橢圓方程可得:$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1,解得y=±$\frac{^{2}}{a}$.取P$(-2,\frac{^{2}}{a})$,直線PF2的方程為:$y=\frac{\frac{3}{2}}{-2}x+\frac{3}{2}$,即$y=-\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$.
把點P代入直線方程可得:$\frac{^{2}}{a}$=$-\frac{3}{4}$×(-2)+$\frac{3}{2}$,化為:b2=3a,又a2=b2+4,聯(lián)立解得a=4,b2=12.
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,橢圓的標準方程為:$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1.
(II)當∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率KAB為定值-$\frac{1}{2}$,下面給出證明.
由(I)可得:P(-2,3).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).不妨設(shè)直線PA的方程為:y=k(x+2)+3.則直線PB的方程為:y=-k(x+2)+3.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x+2)+3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$,化為:(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0.
∴-2x1=$\frac{16{k}^{2}+48k-12}{3+4{k}^{2}}$,解得x1=$\frac{-8{k}^{2}-24k+6}{3+4{k}^{2}}$,y1=$\frac{-12{k}^{2}+12k+9}{3+4{k}^{2}}$.
同理可得:x2=$\frac{-8{k}^{2}+24k+6}{3+4{k}^{2}}$,y2=$\frac{-12{k}^{2}-12k+9}{3+4{k}^{2}}$.
∴kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-24k}{48k}$=-$\frac{1}{2}$,為定值.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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