Question

11．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開式的常數(shù)項為15，則$\int_{-a}^a{（{x^2}+x+\sqrt{4-{x^2}}}）dx$=$\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用二項式展開式的通項公式求得a的值，再利用積分的運算性質(zhì)、法則，求得要求式子的值．

解答 解：由${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•a^6-r•${x}^{\frac{3r-6}{2}}$，
令$\frac{3r-6}{2}$=0，求得r=2，故常數(shù)項為$C_6^4{a^4}=15$，可得a=1，
因此原式為$\int_{-1}^1{（{x^2}+x+\sqrt{4-{x^2}}）}dx=2\int_0^1{（{x^2}+\sqrt{4-{x^2}}）}dx=2（\int_0^1{x^2}dx+\int_0^1{\sqrt{4-{x^2}}}dx）$
=$2（\frac{1}{3}+\frac{{π•{2^2}}}{12}+\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}）=\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}+\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，積分的運算，是一道中檔的常規(guī)問題