Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，則CD與平面BDC₁所成角的正切值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：設(shè)AB=1，則AA₁=2，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BDC₁的一個(gè)法向量，CD與平面BDC₁所成角為θ，則sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可．

解答： 解：設(shè)AB=1，則AA₁=2，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，2），C₁（0，1，0），B（1，1，2），C（0，1，2），
∴

DB

=（1，1，0），

DC1

=（0，1，-2），

DC

=（0，1，0），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BDC₁的一個(gè)法向量，
則

x+y=0 y-2z=0

，取

n

=（-2，2，1），
設(shè)CD與平面BDC₁所成角為θ，則sinθ=|

n • DC

| n || DC |

|=

2

3

，
∴tanθ=

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．