Question

12．已知數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，且a_n＜0，若a₂-a₁=8，a₃=m．
（1）當(dāng)m=48時，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是唯一的，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q＞0，由題意可得a₁和q的方程組，解方程組可得通項公式；
（2）問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于q的方程8q²-mq+m=0有唯一正數(shù)解，由△=0解m驗證可得．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＞0，
當(dāng)m=48時，由題意可得a_n＜0，q＞0，
a₂-a₁=a₁（q-1）=8，a₃=a₁q²=48，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8（2-\sqrt{3}）}\\{q=3+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8（2+\sqrt{3}）}\\{q=3-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=8（2-$\sqrt{3}$）（3+$\sqrt{3}$）^n-1或a_n=8（2+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）^n-1；
（2）若數(shù)列{a_n}是唯一的，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（q-1）=8}\\{{a}_{1}{q}^{2}=m}\end{array}\right.$，
可得關(guān)于q的方程8q²-mq+m=0有唯一正數(shù)解，
∴△=m²-32m=0，解得m=32，
此時q=2，a₁=8滿足題意
故m的值為32

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，涉及分類討論的思想和方程根的個數(shù)問題，屬中檔題．