Question

16．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²$\frac{ωx+φ}{2}$-1（ω＞0，0＜φ＜π），相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，且f（0）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，再把橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象．當x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]時，求函數g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），由題意可得ω和φ值，可得解析式；
（2）由圖象變換可得g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]和三角函數的性質可得值域．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+2sin²$\frac{ωx+φ}{2}$-1
=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）
∵相鄰兩對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$），
∵f（0）=0，0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{6}$
∴f（x）=2sin（2x）；
（2）函數y=f（x）的圖象沿x軸方向向右平移$\frac{π}{6}$個單位長度，的函數y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
再把橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$），∵x∈[-$\frac{π}{12}，\frac{π}{6}$]，∴4x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（4x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴函數的值域為[-2，$\sqrt{3}$]

點評 本題考查三角函數圖象的變換以及三角函數圖象和性質，屬基礎題．