Question

1．過頂點在原點，焦點在y軸正半軸的拋物線的焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，過點A、B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為點C、D，|AF|=2|BF|，且$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，則該拋物線方程為（　�。�

• A． x²=8y
• B． x²=10y
• C． x²=9y
• D． x²=5y

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線方程為x²=2py，利用|AF|=2|BF|，求出A，B的坐標，利用$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，求出p，即可求出拋物線方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），拋物線方程為x²=2py，則
因為|AF|=2|BF|，
所以x₁=-2x₂，y₁-$\frac{p}{2}$=2（$\frac{p}{2}$-y₂），
所以y₂=$\frac{p}{4}$，y₁=p，x₁=$\sqrt{2}$p，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$p，
因為$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，
所以（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，0）•（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，$\frac{3}{4}$p）=72，
所以p=4，
所以拋物線方程為x²=8y．
故選：A．

點評 本題考查拋物線方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定A，B的坐標是關(guān)鍵．