15.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為2.

分析 求得橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點(diǎn),利用坐標(biāo)表示向量,借助于橢圓方程,利用配方法,即可求得最小值.

解答 解:橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心和左焦點(diǎn)為O(0,0),F(xiàn)(-1,0)
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1,∴y2=3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$(-2≤x≤2)
設(shè)P(x,y),則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=(x,y)•(x+1,y)=x2+x+y2=x2+x+3-$\frac{3}{4}{x}^{2}$=$\frac{1}{4}{x}^{2}+x+3$
∵-2≤x≤2,
∴x=-2時(shí),$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的最小值為2.
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查配方法,解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示向量,建立函數(shù)關(guān)系式.

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