Question

3．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
（1）若c=2，求sinC；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理求出sinB，在求sinC即可；
（2）根據(jù)余弦定理建立關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)求解即可．

解答 解：∵2sinA=acosB，b=$\sqrt{5}$．
由正弦定理：$\frac{sinB}=\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
可得：2sinB=$\sqrt{5}$cosB，
∵sin²B+cos²B=1，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cosB=$\frac{2}{3}$
（1）∵c=2，
∴sinC=$\frac{csinB}$=$\frac{2}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{2}{3}$
由余弦定理，可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{2}{3}$
∴a²+c²-$\frac{4}{3}ac$=5，
∵a²+c²≥2ac
∴5+$\frac{4}{3}ac$≥2ac，
可得：ac≤$\frac{15}{2}$．
△ABC面積S=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$
故得△ABC面積的最大值為：$\frac{5\sqrt{5}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力，基本不等式的運(yùn)用．屬于中檔題．