Question

4．已知雙曲線M：$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1與拋物線N：y²=2px（p＞0）的一個(gè)交點(diǎn)為A（4，m）．
（1）求拋物線N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)雙曲線M在實(shí)軸上的頂點(diǎn)為C、D，求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）將A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得m，再將A的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得p，即可得到拋物線的方程；
（2）求得雙曲線的頂點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）將A（4，m）代入雙曲線的方程可得
$\frac{16}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{5}$=1，解得m=±$\sqrt{15}$，
再將A（4，±$\sqrt{15}$），代入拋物線的方程可得
15=8p，解得p=$\frac{15}{8}$，
則y²=$\frac{15}{4}$x；
（2）雙曲線M在實(shí)軸上的頂點(diǎn)為C（-2，0）、D（2，0），
又A（4，m），
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=（-2-4，-m）•（2-4，-m）=（-6）×（-2）+m²
=12+15=27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查拋物線的方程的運(yùn)用，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．