Question

2．正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，若直線PC與平面PDB所成角的為30°，則正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為$\frac{32}{3}π$．

Answer 1

分析 設(shè)AC∩BD=O，則CO⊥平面PDB，利用直線PC與平面PDB所成角的為30°，可得∠CPO=30°，求出PO，利用勾股定理建立方程，求出R，即可求出正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：設(shè)AC∩BD=O，則CO⊥平面PDB，
∵正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵直線PC與平面PDB所成角的為30°，
∴∠CPO=30°，
∴PO=$\sqrt{6}$．
設(shè)正四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為R，則R²=（$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{6}$-R）²，
∴R=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4πR²=$4π•（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}$=$\frac{32}{3}π$．
故答案為：$\frac{32}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四棱錐P-ABCD的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出正四棱錐P-ABCD的外接球的半徑是關(guān)鍵．